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La Media Racional

Extractos y comentarios del libro ‘LA QUINTA OPERACIÓN ARITMÉTICA, Media Aritmónica’

ISBN: 980-12-1671-9. Author: © Domingo Gómez Morín. Copyright. 1993-2008

____djesusg@gmail.com___

CONTENIDO:

Nuevo concepto aritmético general y unificador, basado en la operación Media Racional, que permite la generación de los conocidos métodos de aproximación de raíces de Lucas, Bernoulli, Newton, Halley y Householder, entre muchos otros nuevos algoritmos, con velocidad de convergencia de cualquier orden y abarcando también raíces complejas.

La Media Racional engloba la medias Aritmética, armónica, aritmónica, geométrica, dorada, etc.

Con base en las evidencias a mano estos nuevos métodos no tienen precedentes en ningún texto sobre números ni de origen chino, ni hindú, ni europeo, ni árabe, desde los tiempos babilónicos hasta ahora.

LINKS Y REFERENCIAS SOBRE ESTOS NUEVOS MÉTODOS

Publicaciones, libros, artículos, noticias, and páginas web

con referencias, comentarios o análisis sobre estos métodos

Media Racional. Definición

Dado el conjunto V de n números racionales ordenados de acuerdo a su magnitud:

son valores reales. Por otro lado son valores reales con el mismo signo.

La Media Racional de todos los elementos de V se denota como sigue:

Cauchy demostró que esta operación siempre produce un valor medio entre y :

Sin embargo, Cauchy no la consideró como una operación aritmética sino como una curiosa propiedad de esa forma de relación, y en consecuencia no le dio un nombre. Por lo tanto, nosotros la llamamos: Media Racional. Como se puede observar esta operación no está restringida al uso de fracciones irreducibles.

En la Teoría de Números se estudia un caso particular de la Media Racional llamado Mediant, el cual ha sido siempre restringido a operar entre dos fracciones irreducibles:

La Mediant es la operación que rige las conocidas fracciones de Farey, las secuencias de Stern-Brocot y las fracciones continuas simples. Hay más información sobre este tema en el libro: “La Quinta operación aritmética, media aritmónica” y en los comentarios al final de esta página web.

Modificando la forma de algunas fracciones del conjunto V –pero no su valor decimal--, la Media Racional produce un resultado diferente, por ejemplo, multiplicando y por los Factores de Formas and , esto es:

Esta es una muy importante propiedad de la Media Racional, y en consecuencia el término ‘Factor de Forma’ jugará un papel muy importante en todos los procesos racionales basados en la Media Racional.Hay observaciones acerca de la definición de esta operación dentro del conjunto de los racionales que será discutida brevemente al final.

La Media Racional es un nuevo y general concepto unificador que une áreas que hasta ahora parecían aisladas de cierta manera, y abarca todas las medias conocidas: Media Aritmética, armónica, geométrica, dorada, etc.

La Media Aritmética

La media Aritmética es la Media Racional de un conjunto de fracciones cuyos denominadores son iguales.

La Media Armónica

La Media Armónica es Media Racional de un conjunto de fracciones cuyos numeradores son iguales.

Nota: Todos los ejemplos mostrados aquí, pueden ser fácilmente extendidos para la aproximación de raíces de cualquier grado.

El término ‘Proceso Racional’ será usado para denotar cualquier algoritmo basado en la Media Racional.

Media Aritmónica. Definición

La Media Aritmónica es un caso muy particular del concepto general y unificador de la Media Racional

Dado un conjunto A de valores, como por ejemplo:

La Media Racional de todos los valores de A es:

Modifiquemos ahora la forma de todas las fracciones de A, pero no su valor decimal, como sigue:

denota el Nuevo conjunto transformado.

Note la secuencia de bloques entrelazados con denominadores y numeradores iguales. Esa secuencia la denotamos así:

Hemos hecho la transformación de acuerdo a la secuencia: la cual representa los sucesivos bloques entrelazados y alternantes con denominadores y numeradores iguales que se pueden observar.

Nosotros definimos la Media Aritmónica del conjunto de fracciones A como la Media Racional del conjunto transformado y será denotada como ó mejor así: :

Note que el término con el guión inferior se usa para indicar que el primer bloque de fracciones del conjunto transformado tendrá denominadores iguales.

Por otro lado, el término con el guión superior indica que el primer bloque del conjunto transformado tendrá numeradores iguales, así por ejemplo: Transformemos el conjunto A de acuerdo a la nueva secuencia así :

La Media Aritmónica es la Media Racional del conjunto transformado :

Está claro que la Media Aritmónica englobará entonces a la medias aritmética y armónica.

Preliminares sobre los nuevos métodos aritméticos

(Nichomacus, Relaciones Superparticulares)

Todas las razones en la secuencia:

Fueron analizados y clasificados como razones Superparticulares por Nicomaco en su “Introducction to Arithmetic” (Ref.[iv]).

“in accordance with number by the forethought and the mind of Him that created all things,

for the pattern was fixed, like a preliminary sketch,...”

(quoted text: Nicomachus, chap.VI, [1]).

A pesar de su minucioso análisis que él y otros matemáticos hicieron de ese tipo de secuencias, ninguno de ellos parece haber notado en su tiempo una muy simple e importante propiedad la cual está directamente relacionada con el tema de la aproximación de raíces, y esa propiedad consiste en que en esa secuencia el producto de cada grupo de n=2, 3, 4, … fracciones es siempre igual a 2 de la manera que se muestra a continuación:

Cada fila de n fracciones define un conjunto de n aproximaciones por defecto y exceso a la n-ésima raíz de 2.

Note que el valor n está dado por el denominador de la primera fracción en cada fila.

(3/2, 4/3) define dos aproximaciones por defecto y exceso a

(4/3, 5/4, 6/5) define tres aproximaciones por defecto y exceso a

(5/4, 6/5, 7/6, 8/7) define cuatro aproximaciones por defecto y exceso a

Y así sucesivamente …

El producto de cada grupo es siempre trivial e igual a dos.

Esta característica es inspiradora para usarla como principio fundamental en los métodos de resolución de raíces:

k valores cuyo producto es P representan k aproximaciones, por defecto y exceso, al valor

Si se obtiene un Proceso Racional –basado en la Media Racional—que produzca en cada paso k valores cada vez más cercanos entre sí y cuyo producto sea siempre trivial e igual a P, entonces tendremos un verdadero proceso aritmético natural, exento de geometría y Ensayo-&-Error, para aproximar .

El Proceso Racional más simple

Veremos ahora el Proceso Racional más sencillo que dio origen a todos los demás métodos expuestos aquí:

Raíz Cúbica de 2:

Dado el siguiente conjunto de tres valores cuyo producto es 2:

Primer paso del proceso racional: Usemos la siguiente notación para calcular tres Medias Racionales al mismo tiempo, cada una de ellas evaluada para las fracciones que se encuentran enmarcadas por llaves:

Como se puede ver, se ha producido un Nuevo conjunto de tres fracciones cuyo producto es igualmente trivial e igual a 2, esto es, hemos obtenido tres aproximaciones más cercanas a la raíz cúbica de 2.

El término actúa como los Factores de Forma que mencionamos al comienzo.

Si repetimos el primer paso, esta vez usando el Nuevo conjunto de valores obtenido {9/7, 11/9, 14/11}, entonces obtendremos mejores aproximaciones a la raíz cúbica de 2.

Segundo Paso: Ecaluemos entonces otro conjunto de tres Medias Racionales con los valores obtenidos {9/7, 11/9, 14/11}:

El Factor de Forma permanece siempre igual a (2/2) a lo largo de todo el proceso. Se obtuvo un nuevo conjunto de tres aproximaciones cuyo producto es trivial e igual a 2.

Si continuamos ese proceso de la misma manera obtendremos mejores aproximaciones por defecto y exceso.

Aún cuando este proceso converge muy lentamente y muy esporádicamente ofrece lo que se llama “mejores aproximaciones”, su simplicidad y claridad tendría que hacer surgir algún sentimiento de conmoción en todo aquel que realmente sienta algo por las propiedades y armonías del Número, porque esto es más que un método producto de las ideas de alguien, es mucho más que eso, es un orden pre-establecido en la Cantidad que no se crea sino que se descubre.

Raíz Cuadrada: Proceso Racional de Orden Superior

Raíz cuadrada de un número P :

Dadas dos fracciones (valores positivos) cuyo producto es P, esto es, dos aproximaciones por defecto y exceso a :

Según la definición de Media Aritmónica: Dadas las secuencias: and calculemos las dos siguientes medias aritmónicas and . En este caso particular esas medias serán iguales a las medias aritmética y armónica de los elementos de A:

Se obtienen dos nuevas expresiones cuyo producto es trivial e igual a P.

Es fácil demostrar que esas funciones pueden ser usadas independientemente como funciones de iteración para la aproximación de la raíz cuadrada P, más abajo se incluye un ejemplo numérico.

Note que la primera función es la misma que resulta de aplicar el método de Newton a la ecuación x²-P.

Realmente hasta este punto, no hay nada Nuevo aquí, porque las evidencias históricas al parecer muestran que los antiguos matemáticos ciertamente sabían calcular raíces cuadradas mediante las medias aritmética y armónica. De manera que en este caso en particular el Proceso Aritmónico produce, digámoslo así, los mismos resultados ancestrales para la aproximación de la raíz cuadrada de un número P.

Pero, espere un segundo, veamos en detalle ese proceso aritmónico, especialmente desde la perspectiva del concepto general y unificador de la Media Racional. Veamos que hicimos:

Las formas de x/1 y P/x han sido transformadas usando los Factores de Forma : y , y la Media Racional produce dos expresiones cuyo producto es trivial e igual a P.

De manera que si aplicamos los mismos factores de forma al nuevo par de expresiones que fueron obtenidas en el primer paso, y calculamos su Media Racional, entonces obtendremos un nuevo conjunto de expresiones con las mismas características, como se indica a continuación:

Así de nuevo tenemos dos expresiones cuyo producto es P, y cada una se puede usar independientemente como funciones de iteración para aproximar la raíz cuadrada de P, y se encontrará que ambas triplican el número de dígitos exactos en cada iteración. La primera expresión es la misma que se obtiene cuando se aplica el método de Halley a la ecuación: x²-P.

Repitiendo el paso anterior usando los mismos factores de forma, se obtiene:

Esta vez la primera función tiene velocidad de convergencia de orden cuarto (Semejante a la obtenida con el método de Householder), y la segunda también multiplica por cuatro el número de dígitos exactos en cada iteración de aproximación a la raíz cuadrada de P.

El lector debe notar que estas funciones de orden superior han sido obtenidas mediante simple aritmética, mientras que los métodos de Newton, Halley y Householder requirieron la construcción de una enorme estructura lógica compuesta por el sistema Cartesiano,, el sistema decimal, y el cálculo infinitesimal, y eso ciertamente le imprime una connotación extra a todos estos nuevos métodos aritméticos tan sencillos.

Veamos otro paso más de ese proceso:

Estas nuevas funciones quintuplican el número de cifras exactas en cada iteración, aprovechemos ahora a ver como funcionan estas expresiones para aproximar la raíz cuadrada de 2:

El subíndice ‘i’ denota el número de la iteración.

Cada nueva approximación x_i+1 es calculado usando la aproximación anterior x_i.

Escojemos P=2 y empezamos por la aproximación x₀ = 1

En el primer paso del proceso:

En un Segundo paso ahora usamos x₁ = 41/29 y obtenemos:

Continuando ese proceso hasta el cuarto paso obtenemos los siguientes errores de aproximación a la raíz:

And so on… Es decir que efectivamente se quintuplican el número de cifras excatas en cada iteración.

Y no requerimos para eso de derivadas, ni del sistema cartesiano y mucho menos de ningún oscuro y secreto misterio proveniente del cálculo infinitesimal, como por ejemplo: los infinitesimales de orden superior.

Evidentemente, surgen muchas preguntas al observar la trivialidad y sencillez de estos métodos:

¿Por qué este material tan sencillo para el cálculo de raíces no lo aprendí en la escuela, y ningún maestro lo mencionó nunca?

¿Por qué estos métodos no aparecieron en ningún texto de matemáticas desde la antiguedad hasta ahora?

¿Desde el tiempo de los babilonios hasta ahora?

Lo primero que surge a la mente es el conocido “Problema del alumno novato” (en inglés es llamado: “Freshman problem”), esto es, todo niño cuando comienza a estudiar la suma de fracciones comete el error de sumar numeradores y denominadores, y entonces es reprendido por semejante acción, esa imagen de rechazo a sumar numeradores y denominadores seguramente queda anclada en la mente de toda persona. De manera, que es natural que la mayoría de los matemáticos sientan un rechazo subconsciente contra toda operación del tipo de la Media Racional. De hecho, yo he podido percibir ese ancestral rechazo subconsciente en muchísimos textos de teoría de números que tratan acerca de las fracciones de Farey, e inclusive de la generación de los convergentes de las fracciones continuas.

Puede que ese rechazo haya provocado un gran descuido en cuanto a la consideración de las muy importantes propiedades generales y unificadoras de esta operación tan poderosa.

En este punto, es conveniente recordar la impactante frase del filósofo americano Charles Sanders Peirce quién al analizar las maravillosas propiedades impresas en las secuencias de racionales generados con el uso de la Mediant la cual es un caso muy particular de la Media Racional. Charles Sanders Peirce no le asignó nombre a esa operación, simplemente se refería a ella como: “forma de relación”:

(Collected papers, Hardvard University Press, 1933, Vol. IV, art. 681, pag. 580)

“…It is because [of] this form of relation of rational consequence that numbers are of such stupendous importance in reasoning. But the highest and last lesson which the numbers whisper in our ears is that of the supremacy of the forms of relation for which their tawdry outside is the mere shell of the casket…”

El Proceso Racional y el Método de Daniel Bernoulli

Veamos ahora otro Proceso Racional que produce los mismos resultados que se generan al aplicar el método de Daniel Bernoulli para la aproximación de raíces mediante relaciones lineales homogéneas de recurrencia:

Empezando con el conjunto inicial de tres valores:

cuyo producto es P. Al evaluar tres medias racionales en cada paso como se muestra a continuación

Nótese el Factor de forma constante= (P/P)

y así sucesivamente...

De esta manera se obtienen en cada paso tres expresiones al mismo tiempo cuyo producto es P que representan tres aproximaciones por defecto y por exceso a :

Este proceso tiene baja velocidad de convergencia, lo cual es característico del método de Daniel Bernoulli.

La Media Dorada

El número irracional: llamado la Media Dorada satisface la proporción: y es solución de la ecuación x²+x-1=0, y también está relacionado con la conocida secuencia de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...

El Proceso Racional para aproximar la Media Dorada puede ser desarrollado así:

Considerando la proporción:

Podemos escoger el siguiente conjunto inicial de dos valores que satisfacen esa proporción:

En cada paso, calculamos dos medias racionales usando el Factor de Forma: 2/2, como sigue:

Así obtuvimos dos nuevos valores que satisfacen la proporción dorada.

El siguiente paso produce:

Otras dos medias racionales más:

Y así sucesivamente...

Cada nuevo par de valores satisfacen la proporción Dorada, y representan dos aproximaciones cada vez más cercanas entre sí y al valor de la Media Dorada. Nótese que los coeficientes de las expresiones siguen la secuencia de Fibonacci.

Nuevos Algoritmos Aritmónicos de Orden Superior

El Proceso Aritmónico

Raíz cúbica de un número positivo P (incluyendo las raíces complejas) :

Dado cualquier conjunto de tres números y las secuencias ,

Se calculan las siguientes tres Medias Aritmónicas:

Note los bloques alternantes y entrelazados de fracciones con denominadores y numeradores iguales, los cuales han sido resalados con recuadros. Medias aritmónicas que fueron calculadas usando las secuencias, según la definición de la Media Aritmónica más arrib.

También note el producto trivial:

De esta manera, obtenemos tres expresiones que representan aproximaciones por defecto y por exceso a .

Luego de esto, hay muchos caminos que podemos escoger para hallar funciones de iteración de aproximación a o simplemente se continúa el proceso de cálculo de tres medias aritmónicas en cada paso.

Veamos un camino sencillo:

Si se escoge el conjunto: , donde , entonces las expresiones halladas anteriormente toman la forma:

La segunda expresión es la misma que resulta de aplicar el método de Newton a la ecuación: x³-P = 0.

La tercera expresión es la misma que resulta al aplicar el método de Halley a la misma ecuación y triplica el número de dígitos exactos en cada paso de iteración.

De esa manera se usarían esas funciones independientemente.

Por otro lado, como ya se dijo, se pueden calcular otras tres nuevas medias aritmónicas y se hace:

Para luego repetir ese paso indefinidamente y obtener aproximaciones cada vez más cercanas a la raíz.

Hay infinidad de maneras de manejar estos procesos racionales, por lo cual tienen un carácter muy general y unificador.

Raíces Cúbicas Complejas

Dado el conjunto inicial de valores: cuyo producto es P.

Siendo , y por otro lado .

Al calcular las mismas tres medias aritmónicas mencionadas en el párrafo anterior:

Y al repetir ese proceso hasta la cuarta iteración se producen las siguientes aproximaciones:

Y así sucesivamente…

Esos valores aproximan la raíz compleja: del número 2 :

La segunda raíz compleja: del número 2, pude ser aproximada usando el conjunto inicial:

Como se ha dicho, es fácil ver que este método puede ser extendido a raíces de cualquier grado y ecuaciones.

Para el autor el imaginario i no es más que una etiqueta pegada a un número real, esa etiqueta restringe el campo de acción natural del Número, pero no lo convierte realmente en otra cosa distinta, sino que lo hace actuar de manera distinta o restringida. De manera que los complejos no son un campo aparte de números con existencia propia, como se pretende imponer en todos los textos sobre la materia, sino que son una simple etiqueta pegada a un Número el cual seguirá, aunque restringido, siempre regido por las reglas fundamentales de la Cantidad.

Comentarios adicionales sobre la raíz Cúbica de P :

Se puede inclusive obtener funciones mejores que aquellas provenientes del método de Householder (Cálculo Infinitesimal). En el segundo paso del proceso aritmónico se obtiene una función de este tipo:

Función de iteración aritmónica de quinto orden

La cual multiplica por cinco el número de cifras decimales exactas en cada iteración, y la cual difiere claramente de aquella proveniente de aplicar el método de Householder a la ecuación x³ –P=0. Para comparar, se muestran a continuación las funciones de Householder de cuarto y quinto orden:

Función de Householder de cuarto orden

Función de Householder de quinto orden

En otro orden de ideas, note que en el proceso de aproximación pueden ser usados otros conjuntos iniciales, como por ejemplo:

Cuyos valores representan aproximaciones por defecto y exceso a: .

también:

Cuyos valores representan aproximaciones por defecto y exceso a: .

Hay ciertamente un número infinito de posibilidades para la obtención de diferentes funciones de iteración y métodos de aproximación con el uso de la Media Racional.

Raíz Cuarta de P :

Dado el conjunto y las secuencias al calcular las siguientes cuatro medias aritmónicas: